미스터 아날로그의 수학감상 『아하~그렇구나! 5』
미스터 아날로그의 수학감상 『아하~그렇구나! 5』
  • 이기휘교수
  • 승인 2018.07.31 16:00
  • 댓글 0
이 기사를 공유합니다

의사 선생님, 제가 심각한 병에 걸렸다는 걸 잘 알고 있습니다. 솔직히 말씀해 주십시오.
그렇습니다. 당신은 500명중에 1명 꼴로 나을 수 있다고 조사된 병에 걸렸지만 안심해요. 당신은 틀림없이 살 수 있을거요.
의사선생님 어떤 근거로 그렇게 자신있게 말씀하시는지 궁금하군요. 
아, 그건 말이죠 지금까지 당신과 같은 환자를 499명 수술했는데 모두 죽었으니까 당신은 꼭 살 수 있습니다.

무언가를 뽑으려면 손잡이가 있어야 하니까 손잡이에서 유래했다는 제비뽑기의 제비라는 단어가 영어로 무엇인지 혹시 아세요?  모르는 분은 없을텐데 그 뜻이 제비인 것을 아는 분은 많지 않을 것 같습니다.  로또 해보셨죠?  로또(lotto)의 롯(loot)이 제비뽑기의 제비에 해당되는 단어라고 합니다. 로또 일등되면 뭐하고 싶으세요? 갑자기 물어보면 대답이 안나오고 머리속에 맴돌기만 하는데, 왜 그런가 생각해보니 일등 될 확률이 거의 없다고 생각되어서 구입한적이 거의 없는 것 같다는 느낌이 떠오르시죠. 실제로 계산해보면  인데 느낌이 오지 않으므로 보통 다른 확률하고 같다는 식으로 설명을 하곤 합니다.
그 중에 하나가 벼락맞을 확률이 50만분의 1쯤 된다니까 로또 1등에 당첨될 확률은 벼락을 16번 맞고 살아있을 확률과 같다는 것입니다. ㅋㅋ
지금 계산한 확률을 이론적인 확률(=수학적 확률)이라고 합니다. 그럼에도 불구하고 사람들이 로또를 사는 이유는 1등 아니면 꽝! 그래서 1등 확률은   이라는 내 맘대로 확률(=철학적 확률이라고 명명하고 싶군요 ^-^)로 계산한 결과라고 생각됩니다.

보통 설문조사 같은 데서 100명에게 들어보고 어떤 제품을 좋아한다고 말한 사람이 60명이면 「60%가 그 제품을 좋아한다.」 또는「그 제품이 좋다고 대답할 확률이    라고 합니다.

이렇게 실제로 조사해서 만든 확률을 경험적 확률(=통계적 확률)이라고 합니다.  서두에 나온 이야기 속의 의사는 통계적 확률에 근거해서 환자가 반드시 살 수 있다고 했겠지요. 환자 입장에서는 믿을 수는 없지만 믿고 싶다는 마음이 간절할 것이 분명할 겁니다. 지저분한 쪼변기(쪼그리고 앉아야 하는) 공중화장실에서 바지를 올리다가 동전이 와르르 쏟아진 경험 한 번쯤 있으신 분은 심오한 갈등의 기억이 떠오르시죠? 바로 변기 안으로 들어간 '동전을 버릴 것인가 주울 것인가 그것이 문제로다' 라는 심오한 갈등. 특히 500원 동전일 때는 몇 초 더 포기를 못하고 망설이게 됩니다.「언제라도 사라질 수 있는 것이라면 소중하게 생각하지 마라」라는 세네카의 말을 떠올리면서 마음을 진정 시킬 수 밖에 없습니다. 수학자는 바로 이런 상황에서 동전이 타일 하나에 들어가 있을 확률이 얼마일까를 생각하겠지요.

 

   졸고 있는 학생에게 선생님이 분필을 던질 때 학생 얼굴중에 이마에 맞을 확률은 여러분도 구할 수 있으시죠? 이마의 넓이가 얼굴의 넓이의 넓이의   이라고 한다면 확률은  이 되겠죠. 여기에는 엄청난 아이디어가 숨어 있습니다. 분필을 점으로 보고 얼굴에 점을 임의로 찍을 때 이마 부분에 찍을 확률 구하는 것과 같은데 점을 찍는 경우의 수가 셀 수 없다(무한개)는 것이 주사위를 던져 1의 눈이 나올 확률과 다른 점입니다. 그래서 점을 찍을 수 있는 얼굴 전체 넓이와 이마의 넓이의 비율로 확률을 구해서  이라고 하는 것이 기하학적 확률입니다.


그렇다면 반지름이 1cm인 동전을 한 변의 길이가 5cm인 타일이 넓게 연결되어 있는 목욕탕에서 던질 때, 이 동전이 타일 하나의 안쪽에 들어가 있을 확률을 구해보세요.
앞에서 설명해 드린 방법과 똑같이 푸시면 됩니다. 동전을 하나의 점으로 보기에는 무리가 있겠지요. 여기서 바로 짜릿한 아이디어가 하나 더 필요합니다. 동전의 중심은 한 점이므로 중심이 어디에 있어야 하는지를 계산하면 풀리게 됩니다. 아하 그렇구나~!

동전의 중심이 위치할 수 있는 전체 넓이는

동전이 하나의 타일 안쪽에 들어가 있을 때의 중심이 위치할 수 있는 부분의 넓이는

따라서 하나의 타일에 동전이 들어갈 확률은   입니다.

축하드립니다.

18세기 이전에 수학천제들도 못풀었던 문제를 푸셨습니다.

아참 그때는 타일이 없었겠군요 ㅠㅠ 


이런 기하학적 확률의 가장 유명한 문제인 뷔퐁의 바늘 문제를 하나 내어드리고 끝내겠습니다.

가로 세로 길이가   인 타일이 붙어 있는 목욕탕에서 길이   인 바늘을 던질 때, 두 개 이상의 타일에 바늘이 걸쳐질 확률은     라고 라플라스가 풀었답니다.  ^^

 

 

■이기휘는?

 

1968년생
고려대학교 수학교육학 석사
입시학원 수학강사 경력 28년차
고등학교 수리논술 방과후 수업지도 경력 8년차


댓글삭제
삭제한 댓글은 다시 복구할 수 없습니다.
그래도 삭제하시겠습니까?
댓글 0
댓글쓰기
계정을 선택하시면 로그인·계정인증을 통해
댓글을 남기실 수 있습니다.